[Inquiry] Re: Futures Of Logical Graphs

[Jon Awbrey]

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FOLG.  Note 60

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Arisbe List, Cybernetics List,

Analyzing Contingent Truths (concl.)

To continue with the beating of this still kicking horse that is
known as the propositional equation "(p (q))(p (r)) = (p (q r))",
let's now take up the "third way" that I mentioned for examining
propositional equations, but I believe that you will be relieved
to know that it is literally a third way only at the very outset,
almost immediately breaking up according to whether one proceeds
by way of the more "routine" model-theoretic path or else by way
of the more "strategic" proof-theoretic path.  I think that I'll
take the low road today.

Let's convert the equation between propositions:

   (p (q))(p (r))  =  (p (q r)),

into the corresponding equational proposition:

   (( (p (q))(p (r)) , (p (q r)) )).

If you're like me, you'd rather see it in pictures:

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| Equation E_1, Written as an Equation in Cactus Language ` |
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| ` ` ` ` ` ` ` ` ` `q o` `o r` `q o r` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|` `|` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` `p o` `o p` `p o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` O ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` `(( `(p (q))` (p (r)) ` , ` (p` (q r))` ))` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` [[p=>q] & [p=>r]] `<=>` [p=>[q&r]]` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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We may now interrogate the alleged equation for the third time,
working by way of the "case analysis-synthesis theorem" (CAST).

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| Equation E_1. `Proof 3. ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` q o ` o r ` q o r ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` | ` | ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` p o ` o p ` p o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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| ` ` ` ` ` ` ` ` ` o---------o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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o==================================< CAST "p" >=============o
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| ` ` ` ` `q` `r` ` q r ` `q` `r` ` qr` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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o==================================< QED >==================o

And that, of course, is the DNF of a theorem.

Jon Awbrey

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inquiry e-lab: http://stderr.org/pipermail/inquiry/
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