[Inquiry] Re: Dynamics And Logic

[Jon Awbrey]

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DAL.  Note 4

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Last time we computed what will variously be called
the "difference map", the "difference proposition",
or the "local proposition" Df_x for the proposition
f<p, q> = pq at the point x where p = 1 and q = 1.

In the universe X = !P! x !Q!, the four propositions
pq, p(q), (p)q, (p)(q) that indicate the "cells",
or the smallest regions of the venn diagram, are
called "singular propositions".  These serve as
an alternative notation for naming the points
<1, 1>, <1, 0>, <0, 1>, <0, 0>, respectively.

Thus, we can write Df_x = Df|x = Df|<1, 1> = Df|pq,
so long as we know the frame of reference in force.

Sticking with the example f<p, q> = pq, let us compute the
value of the difference proposition Df at all of the points.

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| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` p `dp q `dq ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` o---o o---o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\` | | `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` \ | | / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\| |/` ` ` ` `p q` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` o=o-----------o ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-------------------------------------------------o
| Df =` ` ` ` ((p, dp)(q, dq), pq)` ` ` ` ` ` ` ` |
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| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `dp ` `dq ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` o---o o---o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\` | | `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` \ | | / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\| |/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` o=o-----------o ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-------------------------------------------------o
| Df|pq = ` ` ` ` ` ((dp) (dq)) ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `dp | `dq ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` o---o o---o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\` | | `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` \ | | / ` ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\| |/` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` o=o-----------o ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-------------------------------------------------o
| Df|p(q) = ` ` ` ` `(dp) dq` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-------------------------------------------------o

o-------------------------------------------------o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` | `dp ` `dq ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` o---o o---o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\` | | `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` \ | | / ` ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\| |/` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` o=o-----------o ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-------------------------------------------------o
| Df|(p)q = ` ` ` ` ` `dp (dq)` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-------------------------------------------------o

o-------------------------------------------------o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` o ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` | `dp | `dq ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` o---o o---o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` `\` | | `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` \ | | / ` ` ` o ` o ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `\| |/` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` o=o-----------o ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-------------------------------------------------o
| Df|(p)(q) = ` ` ` ` `dp dq` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-------------------------------------------------o

The easy way to visualize the values of these graphical
expressions is just to notice the following equivalents:

o-------------------------------------------------o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| `e` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| `o-o-o-...-o-o-o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` \ ` ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` `\` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` \ ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` e ` ` ` ` |
| ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` o ` ` ` ` |
| ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` |
| ` ` ` ` @ ` ` ` ` ` ` `=` ` ` ` ` ` ` @ ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-------------------------------------------------o
| `(e, , ... , , )` ` ` `=` ` ` ` ` ` `(e)` ` ` ` |
o-------------------------------------------------o

o-------------------------------------------------o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| e_1 e_2 ` e_k `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| `o---o-...-o---o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` \ ` ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` `\` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` \ ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` `\` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` \ ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `e_1 ... e_k` ` |
| ` ` ` ` @ ` ` ` ` ` ` `=` ` ` ` ` ` ` @ ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
o-------------------------------------------------o
| `(e_1, ..., e_k, ())` `=` ` ` ` `e_1 ... e_k` ` |
o-------------------------------------------------o

Laying out the arrows on the augmented venn diagram,
one gets a picture of a "differential vector field".

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| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `dp|dq` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `o-----------o | o-----------o` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` \|/ ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` |
| ` ` ` `/` ` ` `p` ` ` `|` ` ` `q` ` ` `\` ` ` ` |
| ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` /|\ ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` |
| ` ` `/` ` ` ` ` ` ` `/%|%\` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` |
| ` ` o ` ` ` ` ` ` ` o%%|%%o ` ` ` ` ` ` ` o ` ` |
| ` ` | ` ` `(dp) dq` |%%v%%| `dp (dq)` ` ` | ` ` |
| ` ` | ` o-----------|->o<-|-----------o ` | ` ` |
| ` ` | ` ` ` ` ` ` ` |%%%%%| ` ` ` ` ` ` ` | ` ` |
| ` ` | ` o<----------|--o--|---------->o ` | ` ` |
| ` ` | ` ` `(dp) dq` |%%|%%| `dp (dq)` ` ` | ` ` |
| ` ` o ` ` ` ` ` ` ` o%%|%%o ` ` ` ` ` ` ` o ` ` |
| ` ` `\` ` ` ` ` ` ` `\%|%/` ` ` ` ` ` ` `/` ` ` |
| ` ` ` \ ` ` ` ` ` ` ` \|/ ` ` ` ` ` ` ` / ` ` ` |
| ` ` ` `\` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` `/` ` ` ` |
| ` ` ` ` \ ` ` ` ` ` ` /|\ ` ` ` ` ` ` / ` ` ` ` |
| ` ` ` ` `o-----------o | o-----------o` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `dp|dq` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `v` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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This just amounts to a depiction of the points,
truth-value assignments, or interpretations in
EX = !P! x !Q! x d!P! x d!Q! that are indicated
by the difference map Df : EX -> B, namely, the
following six points or singular propositions:

   1.   p  q  dp  dq
   2.   p  q  dp (dq)
   3.   p  q (dp) dq
   4.   p (q)(dp) dq
   5.  (p) q  dp (dq)
   6.  (p)(q) dp  dq

By inspection, it is fairly easy to understand Df
as telling you what you have to do from each point
of X in order to change the value borne by f<p, q>
at the point in question, that is, in order to get
to a point where the value of f<p, q> is different
from what it is where you started.

Jon Awbrey

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inquiry e-lab: http://stderr.org/pipermail/inquiry/
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